Matematik Keşfedilir mi Yoksa İcat mı Edilir?
Çoğumuz için matematik eğitimimiz pek çok isim içeriyordu. Pisagor Teoremi; Riemann Hipotezi; Hilbert’in Oteli ve daha pek çok kavram ve teorem, onları ilk keşfeden bilim insanlarıyla özdeşleşmiştir. Yoksa onları icat eden mi demeliyiz?
Bu ciddi bir soru. Matematiğin, Evrenin temel yasalarını çözmemizi, çabucak zengin olmamızı ya da en verimli parti davetli listesini planlamamızı sağlayan bu vazgeçilmez araç olmasına o kadar alıştık ki, nereden geldiğini düşünmek için sık sık durmuyoruz.
Peki hangisi? Binlerce yıl boyunca titizlikle kanıtlanan tüm o teoremler ve kavramlarla matematik icat mı edildi, sadece insan algısının bir yan ürünü mü; yoksa keşfedildi ve kozmosta bir yerlerde gerçek, gerçek bir “altı” olduğu fikrini mi doğurdu?
Bu düşündüğünüzden daha zor bir soru.
Gerçek sayılar mı, hayali mi?
Kendinizi a2 + b2 = c2’nin kozmik ve değişmez bir gerçek mi yoksa köprü inşa etmek için kullanışlı olduğuna karar verdiğimiz bir şey mi olduğunu merak ederken bulduysanız, iyi bir arkadaşınız var demektir. Matematiğin keşfedilmiş mi yoksa icat edilmiş mi olduğu sorusu çok uzun bir geçmişe dayanıyor: Oxford Üniversitesi’nde Matematik Felsefesi Profesörü olan Alexander Paseau IFLScience’a “en azından Platon’un zamanından beri (M.Ö. 4. yüzyıl)” diyor.
“Ve muhtemelen ondan da önce” diye ekliyor. “Pisagorcuların bir sayı felsefesi vardı.”
Bugün bile, bu konudaki başlıca düşünce ekollerinden biri, fikirlerine dayandığı güreşçiden filozofa atfen Platonculuk olarak biliniyor. Takipçilerinin tartışmanın bir tarafında oldukça sağlam bir şekilde yer aldığını söylemek doğru olur: Sheffield Üniversitesi Felsefe Bölümü Öğretim Görevlisi Joe Morrison, Platoncuların “sayıların, matematiksel nesnelerin, aslında her şeyin gerçek olduğunu” savunduğunu belirtiyor.
IFLScience’a “Zihinden bağımsızdırlar” diyor. “Kimsenin onlar hakkında düşünmesine, onları adlandırmasına, onları bulmasına ya da herhangi bir kavrama sahip olmasına bağlı değildirler; onlar gerçekten oradadırlar.”
O halde, “keşfedilmiş” ile “icat edilmiş” arasındaki yelpazede, Platonculuk kararlı bir şekilde “keşfedilmiş “i tercih etmektedir. Örneğin, “Riemann hipotezi doğrudur” gibi bir ifade, “tüm elmalar kırmızıdır” gibi bir ifade kadar olgusal gerçekliğe bağlıdır; bugün tüm insan yaşamı yok olsa, bu 2 + 2 = 4 gerçeğini, bir su molekülündeki atom sayısını değiştireceğinden daha fazla değiştirmez.
Bu, matematiksel gerçekçilik olarak bilinen şeyin sadece bir dalıdır. Matematiksel varlıkların gerçek hayattaki varlığına inanmanın başka yolları da vardır: Paseau, “Aristotelesçiler matematiğin fiziksel dünyayla ilgili olduğunu düşünüyor” derken, nesne gerçekçiliğinin bağımsızlık için Platoncu gerekliliği ortadan kaldırdığını belirtiyor. Ancak hepsi hemfikirdir: sayılar ve kümeler gibi matematiksel nesneler, akıllı failler olarak bizim icat etmekten ziyade keşfettiğimiz gerçek (soyut da olsa) varlıklardır.
Aşkın olanı kavramak için
Matematiksel gerçekçilik yüzyıllar boyunca oldukça ünlü isimlerin ilgisini çekmiştir – muhtemelen “matematik gerçektir” gibi sert bir duruş sergilemesini en az beklediğiniz kişi olan Kurt Gödel bile bu görüşü benimsemiştir. Ancak evrensel olarak kabul edilmekten uzaktır: Morrison, “Platonculuğun saçma olduğunu söyleyen çok sayıda insan var” diyor; “aşırı şişirilmiş, şişirilmiş ve bize ontolojimize – var olanın envanterine – tüm bu gerçekten garip varlıkları, başka hiçbir şeye benzemeyen bu matematiksel varlıkları kabul etmemiz gerektiğini söylüyor.”
Platonculukla ilgili sorunlar bundan daha da derindir. İlk başta, matematiksel gerçekliklerin keşfedilebilirliği duruşun bir gücü gibi görünebilir – biz öyle olduğunu söylesek de söylemesek de “iki “nin ikiye eşit olacağı argümanından biraz etkilenmediğini kim söyleyebilir?
Ama “eğer matematiksel gerçekler bir şekilde gerçekten oradaysa,” diye açıklıyor Morrison, “ve bunlar sonsuz, zamansal olmayan, evrensel yapılarsa; zamanda var olmazlar, uzayda var olmazlar, sadece bir şekilde gerçektirler… o zaman insanların bunlar hakkında herhangi bir bilgiye sahip olması nasıl beklenir?”
Eğer gerçek değilse, o zaman ne?
Belki de matematik, bir şekilde keşfetmemizi bekleyen gerçek nesnelerden ve doğrulardan oluşmuyor. Peki bunun alternatifi nedir? Matematiğin gerçek olduğu fikrine karşı çıkan bir görüş için yeterince uygun bir şekilde, buna kurguculuk deniyor – ve ilk bakışta muhtemelen biraz tuhaf görünüyor.
“Kurguculuk, matematiğin bir kurgu olduğu fikridir: ‘1 + 2 = 3’ matematik hikayesinde doğru olabilir, tıpkı Dickens’ın kurgusunda Oliver Twist’in Londra’da yaşamasının doğru olması gibi,” diye açıklıyor Paseau. “Ancak bu, Oliver Twist’in Londra’da yaşadığının tam anlamıyla doğru olmaması gibi tam anlamıyla doğru değildir – çünkü o yoktur bile.”
Tahmin edebileceğiniz gibi, bu görüş biraz tartışmalı. Los Angeles’taki California Eyalet Üniversitesi’nde matematiksel felsefe araştırmacısı olan Mark Balaguer, konuyla ilgili Stanford Felsefe Ansiklopedisi girişinde “Kurgusalcı hipotez ilk duyulduğunda biraz çılgınca görünebilir” diye yazıyor.
“‘3 asaldır’ ve ‘2 + 2 = 4’ gibi cümlelerin yanlış olduğuna gerçekten inanmamız mı gerekiyor?” diye soruyor. “Ancak alternatiflerin ne olduğunu fark ettiğimizde kurgusallığın cazibesi ortaya çıkmaya başlar. Matematiksel söylemin yorumlanmasını çevreleyen konular hakkında dikkatlice düşündüğümüzde, kurgusalcılığın aslında çok makul olduğu ve hatta en az çılgınca görüş olabileceği ortaya çıkabilir.”
Morrison’a göre bu bir tür hile gibi görünebilir – Bertrand Russell’ın bir zamanlar meşhur bir şekilde protesto ettiği gibi, “dürüst emek yerine hırsızlığın avantajlarından” yararlanmaya benzer. Ancak kurgucular, bu tür şeyleri gerçekten de her zaman yaptığımızı iddia ediyor: “Yüzüklerin Efendisi hakkında konuşuyoruz ve ‘Shire’da hobbitler mi yaşıyor’ gibi şeyler söyleyebiliyoruz” diye belirtiyor. “Ve cevap evet, hobbitlerin Shire’da yaşadığı doğrudur […] hobbitler Shire’da yaşar ve hobbitler yoktur.”
Kurgucular aynı şeyin matematiksel ifadeler için de geçerli olduğuna inanır. “3 asaldır” ifadesinin yanlış bir ifade olduğu yönündeki tuhaf fikir buradan kaynaklanır – kurgucu 3’ün kendisinden ve birden başka faktörleri olduğunu düşündüğü için değil, “3”, “asal olmak” ve “faktörler” gibi şeyler basitçe var olan şeyler olmadığı için.
Morrison, “Matematiksel kurgucular şunu söylemeye heveslidir: Bakın, 2 + 2 = 4’ü inkar etmiyoruz, bunun yanlış olduğunu söylemiyoruz,” diye açıklıyor. “Bunun doğru olduğu bir anlam var, ama Bilbo Baggins’in Shire’da yaşadığı gibi doğru. Kurguya göre doğru.”
Bir sürpriz sorusu
Tıpkı gerçekçilik gibi, kurgusallığın da karşıtları vardır. Sonuçta, eğer matematik basit bir icatsa, o zaman nasıl oluyor da bu kadar iyi çalışıyor?
Bu önemsiz bir soru değil. Örneğin bir dairenin yarıçapını çevresine bağlayan basit bir eşitlik nasıl oluyor da finansal türevlerin zaman içindeki dinamiklerini modellemenin ayrılmaz bir parçası olabiliyor? Bir sarkacın fiziksel hareketi, bırakın aynı denkleme bağlı olmayı, neden sayıların dört karenin toplamı olarak sunulmasıyla ilgili olsun ki? Analitik geometriyi ya da Monstrous Moonshine’ı açıklamaya nasıl başlayacağız?
“Bu, kurgucular için gerçek bir meydan okuma olarak kabul ediliyor. Önemli bir meydan okuma gibi,” diyor Morrison. Felsefeciler buna matematiğin mantıksız etkinliği diyor: matematiğin her zaman var olan, görünüşte açıklanamayan ve çoğu zaman tamamen öngörülemeyen, görünüşte herhangi bir bilimsel olguyu açıklama yeteneği.
Morrison, “İnsanları aya gönderebiliriz – Hidden Figures filmini izlerseniz, kelimenin tam anlamıyla uzun formda matematik yapıyorlar […], etkili olan çok karmaşık denklemler, aslında iki hareketli nesnenin çok etkili bir şekilde çakışmasına izin veriyor,” diye açıklıyor.
“Ve sorulması gereken soru şu: Eğer tüm bu matematik konuşmaları bir anlamda yanlışsa ya da bir anlamda gerçek değilse, gerçekliğin gerçek özelliklerini yakalamıyorsa – nasıl bu kadar etkili olabiliyor?”
Ya da örneğin Kuzey Amerika’da yıllarca yeraltında gizlendikten sonra ortaya çıkarak yeme, üreme ve düşme telaşıyla tüm kasabaları yutmaya çalışan periyodik ağustosböceği türlerini düşünün. Bu böceklerin yedi farklı türü var ve hepsi de katı bir matematiksel rejime uyuyor, yalnızca yedi, 13 ya da 17 yıl sonra toprağın altında ortaya çıkıyor.
“Nasıl oluyor da bunlar asal sayı yaşam döngüleri oluyor? Cevap biraz sayı teorisi” diyor Morrison. “Bu sadece en düşük ortak katlarla ilgili. Bu biyolojik bir açıklama, ancak vazgeçilmez bir şekilde sayıların özelliklerine dayanan [bir] biyolojik açıklama. Yaşam döngülerinin ilkelliği açıkça fiziksel bir fark yaratıyor.”
Görünürde, gerçekçilik lehine – ya da en azından kurgusalcılığa karşı – ikna edici bir argümandır ki bu aynı şey değildir. Çünkü bir kurgucu soruyu mükemmel bir şekilde yanıtlayamayabilirken, gerçekçinin de yanıtlayabileceğinin garantisi yoktur.
Morrison, “İşte felsefenin ilginçleştiği yer burasıdır,” diyor. Kurgucular “muhtemelen ya sorundan sıyrılmaya çalışacaklar […] ya da bir geri itme olacak – ‘peki, diğer görüş bununla nasıl başa çıkıyor? Gerçekçilik için şaşırtıcı tesadüfleri anlamlandırmak neden bu kadar kolay olsun ki?”
Quod erat demonstrandum
Peki, bu matematik için ne anlama geliyor? Ne icat edilmiş, ne de keşfedilmiş, ama hayatlarını bu soruya adayanlar için bile çözülemeyen gizli bir üçüncü şey.
Morrison, “İkisinin arasında bir yerde – doğru cevap bu olmalı,” diyor. “Benim içgüdülerime göre bazı matematiksel yapılar nesnel gibi görünecek ama tam anlamıyla nesnel olmadıkları ortaya çıkacak.”
Aslında, olası çözümlerin yüzeyini ancak çizebildik. “Bazı insanlar matematiğin nesnelerinin zihinsel olduğunu düşünüyor” diye açıklıyor Paseau; “matematiği anlamsız sembol manipülasyonu olarak gören Formalistler var. Bugünlerde pek popüler bir görüş değil” diyor ve Tümdengelimciler ve “nispeten popüler olmayan bir dizi başka görüş” olduğunu söylüyor.
“Ben de dahil olmak üzere çağdaş matematik felsefecilerinin çoğu yapısalcıdır” diye ekliyor – ancak “soru, ne tür bir yapısalcılığa gidileceğidir.”
Cevabı kesin olarak bilebilecek miyiz? Bu mümkün. Felsefenin meşhur olduğu tüm o derin düşüncelere rağmen, çok sayıda pratik ve deneysel çalışma da devam ediyor – ve teknoloji ilerledikçe, bazen şaka yollu “çöp kutusu olmayan matematik” olarak tanımlanan bir konudan beklemeyeceğiniz türden atılımlar görmeye başlayabiliriz.
Morrison, nörobilimin matematiksel bilişe dair içgörüler sağlayabileceğini, matematikte neyin sadece insan düşüncesinin bir özelliği olduğunu ve neyin bir şekilde bizim dışımızda olduğunu ayırabileceğini öne sürüyor; Paseau, teoremleri icat etmek ve kanıtlamak için bilgisayarların artan kullanımının, matematik hakkında düşünme şeklimizi değiştirmesinin de aynı derecede muhtemel olduğunu öne sürüyor.
Ama sonuçta bu, üzerinde ne kadar uzun ve sıkı düşünürsek düşünelim, cevabını bilmeden yaşamak zorunda olduğumuz sorulardan biri olabilir.
Paseau, “İçgüdülerim matematiğin icat edildiği yönünde,” diyor. “Felsefeye girmeden önce de buna inanıyordum.”
“Şimdi düşündüğüm şey bu değil,” diye ekliyor. “Zaman içinde keşfedildiğini düşünmeye başladım. Tartışmalar bu yöne doğru gidiyor gibi görünüyor.”
Tüm “açıklayıcı” makaleler, yayınlandıkları tarihte doğruluk kontrolörleri tarafından onaylanmıştır. Metin, resim ve bağlantılar, bilgileri güncel tutmak için daha sonraki bir tarihte düzenlenebilir, kaldırılabilir veya eklenebilir.
Kaynak: https://www.iflscience.com
Derleyen: Figen Berber
İnanılmaz Basit Matematik Kullanarak 14 Kez Piyango Kazanan Adam