150 Yıllık Tartışma Bitti: “Çılgın Zarlar” Evrenin Rastgelelik Sırrını Çözdü
Yeni bir matematiksel araştırma, rastgeleliği modelleme konusunda uzun süredir geçerli olan varsayımlara meydan okuyor.
Herhangi bir anda, sayısız molekül çevrenizdeki havada tahmin edilemez bir şekilde hareket ediyor. Fizikçiler, bu görünürdeki rastgeleliği anlamlandırmak için Boltzmann dağılımı adı verilen bir prensibe güveniyorlar. Bu yasa, her parçacığın tam konumunu izlemek yerine, bir sistemin belirli bir durumda olma olasılığını tanımlar.
Bu yaklaşım, bireysel hareketlerin tahmin edilmesinin imkansız olduğu durumlarda bile büyük sistemleri anlamayı mümkün kılar. Faydalı bir karşılaştırma, zar atmaktır: her atış belirsiz olsa da, tekrarlanan atışlar tutarlı bir olasılık örüntüsü ortaya koyar.
Rastgelelik için evrensel bir kural
İlk olarak 19. yüzyılın sonlarında Avusturyalı fizikçi ve matematikçi Ludwig Boltzmann tarafından formüle edilen bu prensip, bugün birçok disiplinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Fizik dışında, yapay zeka ve ekonomi gibi alanlarda da ortaya çıkar ve burada çok terimli logit modeli olarak bilinir.
Yeni bir çalışmada, ekonomistler bu temel kavramı yeniden ele aldılar ve beklenmedik bir sonuca ulaştılar. Yaptıkları analiz, Boltzmann dağılımının, birbirinden bağımsız sistemleri, yani farklı bileşenlerin birbirini etkilemediği sistemleri tanımlamak için benzersiz bir şekilde uygun olduğunu göstermektedir.
Mathematische Annalen’de yayınlanan çalışma, Caltech’te ekonomi ve matematik profesörü olan Ömer Tamuz ve şu anda Princeton Üniversitesi’nde ekonomi yardımcı doçenti olan eski Caltech doktora sonrası araştırmacısı Fedor Sandomirskiy tarafından yürütüldü. Her iki araştırmacı da çalışmalarına fizik alanındaki eğitimlerini de katıyor.
Tamuz, “Bu, soyut matematiksel düşüncenin farklı alanlar arasında nasıl köprü kurabileceğinin bir örneğidir; bu durumda, ekonomi teorisinden fiziğe kadar fikirleri birbirine bağlıyor,” diyor. “Caltech’in disiplinlerarası ortamı, bu tür keşifleri teşvik ediyor.”
Ömer Tamuz ve “çılgın” zarları. Kaynak: Caltech
Modellerde Bağımsızlığın Önemi
Araştırmada incelenen önemli bir konu, bağımsız davranışların nasıl modelleneceğidir. Örneğin, insanların iki tahıl markası arasında nasıl seçim yaptığını inceleyen bir ekonomist, gerçekçi olmayan bağlantılar üreten modellerden kaçınmak isteyecektir. Eğer model, tahıl tercihlerinin, birinin hangi bulaşık deterjanını aldığı veya hangi renkte gömlek giydiği gibi ilgisiz seçimlere bağlı olduğunu öne sürüyorsa, açıkça kusurlu olacaktır.
Tamuz, “Alışveriş yapan kişinin başka bir reyonda hangi deterjanı seçtiği gibi alakasız görünen ekstra seçimleri takip etmek istemiyoruz,” diyor. “Şu soruyu soruyoruz: Görünüşte ilgisiz olan bu seçimi dahil etmek, modelin tahminini ne zaman değiştirmez?”
Boltzmann dağılımı zaten bu gereksinimi karşılıyor olsa da, Tamuz ve Sandomirskiy başka teorilerin de aynı şeyi yapıp yapamayacağını öğrenmek istediler.
Bulmaca yaratıcısı ve matematik meraklısı Albay George Sicherman tarafından 1977’de icat edilen bir çift “çılgın” veya Sicherman zarı. Kaynak: CalTech
Tamuz, “Herkes aynı teoriyi kullanıyor,” dedi. “Ama başka hangi teoriler, ilgisiz davranışlar arasındaki bağlantı eksikliğini doğru bir şekilde koruyan bu güzel özelliğe sahip? Bunun yerine bu teorileri mi kullanmalıyız? Eğer böyle teoriler varsa, hem ekonomide hem de fizikte faydalı olabilirler. Eğer yoksa, Boltzmann dağılımının anlamsız olmayan tek fiziksel teori olduğunu ve çok terimli logitin, ilgisiz durumlarda bağımsız seçimleri tahmin eden tek ekonomik model olduğunu öğreniriz.”
Zarlar, bağımsızlığın matematiğini ortaya koyuyor
Diğer matematiksel çerçevelerin bağımsız sistemleri tanımlayıp tanımlayamayacağını araştırmak için, ekonomistler altta yatan mantığı test etmek için yeni yollar tasarladılar. Tamuz, yaklaşımlarını genellikle zarlar kullanarak açıklıyor. Tek bir zar, 1 ile 6 arasında değişen sonuçlarla tahmin edilemeyen sonuçlar üretir. Her bir atış belirsiz olsa da, deneyi birçok kez tekrarlamak, her sayının yaklaşık altıda bir oranında göründüğü istikrarlı bir örüntüyü ortaya çıkarır. Bu desen, tek bir zarın olasılık dağılımını temsil eder.
İki zar birlikte atıldığında ve toplamları kaydedildiğinde farklı bir dağılım ortaya çıkar. Bazı sonuçlar diğerlerinden daha nadirdir. Örneğin, 2 toplamı yalnızca her iki zar da 1’e geldiğinde oluşur ve bu da 36’da 1 olasılık anlamına gelir. Buna karşılık, 8 toplamı beş farklı şekilde oluşturulabilir ve bu da 36’da 5 olasılık anlamına gelir. Önemli olan, bir zarın sonucunun diğerini etkilememesidir. Bunlar bağımsız sistemlerdir. Önceki örnekte, bir zar kahvaltılık gevrek seçimini, diğeri ise bulaşık deterjanı seçimini temsil eder ve hiçbir karar diğerini etkilememelidir.
Bu fikri daha da ileri götürmek için araştırmacılar, 1977 yılında bulmaca tasarımcısı Albay George Sicherman tarafından yaratılan Sicherman zarları olarak bilinen alışılmadık bir çift zarı tanıttılar. Masasında bu zarlardan bir set bulunduran Tamuz, zarların yüzlerinde alışılmadık sayılar bulunduğuna dikkat çekiyor. Bir zarın üzerinde 1, 3, 4, 5, 6, 8 sayıları, diğerinde ise 1, 2, 2, 3, 3 ve 4 sayıları yazılıdır. Alışılmadık tasarımlarına rağmen, her iki zar da atıldığında ve sadece toplam kaydedildiğinde, sonuçlar standart zarların ürettiği sonuçlarla eşleşir. Örneğin, 2 gelme olasılığı 36’da 1, 8 gelme olasılığı ise 36’da 5 olarak kalır. Başka bir deyişle, toplamların dağılımı aynıdır.
Bu özellik, Tamuz ve Sandomirskiy’e güçlü bir test aracı sağladı. Farklı matematiksel teorilerin hem standart zarları hem de bu alışılmadık zarları nasıl ele aldığını karşılaştırdılar. Bir teori her ikisi için de aynı toplam dağılımını üretiyorsa, bağımsızlığı başarıyla korumuştur. Farklı sonuçlar üretiyorsa, ilgisiz sistemler arasında yanlış bir bağlantı ima eder ve bu nedenle başarısız olur.
Polinom ispatı soruyu çözüyor
Geçerli alternatifler arayışlarını genişletmek için, ekonomistler orijinal Sicherman çiftinin ötesinde daha fazla alışılmadık zar örneği aradılar. Her yeni örnek, rakip teorileri değerlendirmek için başka bir yol sağladı. Sonsuz sayıda olası matematiksel model olduğundan, sonsuz sayıda teorik zar çiftinden oluşan bir eşleştirme kümesi oluşturdular.
Bu durumları sistematik olarak test ederek, nihayetinde her alternatifi ortadan kaldıran bir ispat ürettiler. Sonuçları, bir asırdan fazla süredir bilimde güvenilen, uzun süredir yerleşik Boltzmann dağılımının, tutarlı bir şekilde çalışan tek çerçeve olduğunu gösteriyor.
Matematiksel bir bakış açısından, tüm problem, cebirde yaygın olarak kullanılan f(x)=x + 3x² + x³ gibi fonksiyonlar olan polinomlar kullanılarak ifade edilebilir. Boltzmann’ın formülasyonuna veya rakip bir teoriye dayalı olsun, tartışılan her olasılık dağılımı bu biçimde yazılabilir.
Örneğin, kenarları 1, 3, 4, 5, 6, 8 olan ilk Sicherman zarı, f(x) = x1 + x3 + x4 + x5 + x6 + x8’e karşılık gelir. Kenarları 1, 2, 2, 3, 3, 4 olan ikinci zar ise g(x) = x1 + 2×2 + 2×3 + x4’e karşılık gelir. Bu ifadelerin çarpımı, f(x) · g(x), toplam sonuçlarının dağılımını temsil eden başka bir polinom üretir.
Bu sonuç, her biri h(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ile tanımlanan iki standart zardan elde edilen dağılımla eşleşir; yani h(x) · h(x), f(x) · g(x) ile aynı birleşik dağılımı verir.
Bu ilişki, sistemlerin birbirinden bağımsız olduğu fikrini yakalar. Nihai sonuca ulaşmak, bu polinom gösterimlerinin nasıl davrandığına dair yeni matematiksel içgörüler gerektirmiştir.
Sandomirskiy, “Buna başlarken ne bekleyeceğimizi bilmiyorduk,” diyor. “Bu paradoksal tahminler bizi cezbetmişti ve bir teorinin hiç paradoksal tahmine sahip olmamasının ne anlama geldiğini merak ediyorduk. Sonunda, bunun Boltzmann teorisi olması gerektiği anlamına geldiğini öğrendik. Bir asırdan fazla süredir ders kitaplarında yer alan bir kavrama yeni bir bakış açısı bulduk.”
Kaynak: https://scitechdaily.com