Fibonacci Dizisinin Doğadaki Gizemi: Neden Bu Kadar Yaygın?
İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci’nin adını taşıyan sayı dizisi kadar ünlü çok az sayı dizisi vardır. Ve bunun iyi bir nedeni var: nispeten basit bir tariften yola çıkan bu sayı dizisi, hayatın hemen her yönüne dokunuyor gibi görünüyor sadece matematikte değil, aynı zamanda çevremizdeki doğal dünyada da.
Ve bu garip görünüyor, değil mi? Düzenli bir ikili işlem tarafından yönetilen belirli bir sayı dizisi neden doğanın her yerinde ortaya çıksın?
Cevap düşündüğünüzden daha akıllıca.
Fibonacci dizisi nedir?
Eğer “Fibonacci” ismi size bir şey çağrıştırmıyorsa, matematik dersinde gördüğünüz ilk “zor” sayı dizisini hatırlayın. Şöyle bir şeydi:
Buradaki kuralın ne olduğunu tam olarak göremiyorsanız, kural şudur: her yeni sayı, kendisinden önceki iki sayının toplamıdır. Şiir için ideal ritimleri bulmaya çalışan ortaçağ Hint bilginleri tarafından da aşağı yukarı ilk kez bu şekilde keşfedilmiştir.
Ancak Batı’da dizinin ortaya çıkması için birkaç yüzyıl daha geçmesi gerekti – ve ortaya çıktığında da bu basit bir toplama işleminin sonucu değildi. Aslında, daha çok çarpma işlemiyle ilgiliydi.
Dr. Ron Knott “Fibonacci’nin (1202 yılında) araştırdığı orijinal problem, tavşanların ideal koşullarda ne kadar hızlı üreyebileceğiyle ilgiliydi,” diye açıklıyor.
“Biri erkek, diğeri dişi olan yeni doğmuş bir çift tavşanın bir tarlaya bırakıldığını varsayalım” diye anlatıyor. “Fibonacci’nin ortaya attığı bulmaca şuydu… Bir yıl içinde kaç çift olacak?”
Şimdi, bunun işe yaraması için yapmanız gereken birkaç varsayım var, bu yüzden sorunu açıklayanlar genellikle bunun “idealleştirilmiş” – yani biyolojik olarak gerçekçi olmayan – bir senaryo olduğuna işaret ediyor. Öncelikle, tavşanların ölebileceği gerçeğini görmezden gelin – bu alıştırmanın amaçları doğrultusunda ölmezler. Daha sonra, tavşanların sadece bir aylıkken bebek sahibi olabileceklerini değil, aynı zamanda bu bebeklere sahip olacaklarından kesinlikle emin olduklarını varsaymalıyız. Akraba evliliği hakkında bildiğiniz her şeyi de unutun.
Knott, “ilk ayın sonunda çiftleşirler, ancak hala sadece bir çift vardır” diye açıklıyor.
“İkinci ayın sonunda dişi yeni bir çift üretiyor, yani artık tarlada iki çift tavşan var” diye devam ediyor. “Üçüncü ayın sonunda, orijinal dişi ikinci bir çift daha üretir ve tarlada toplam üç çift olur.”
“Dördüncü ayın sonunda, orijinal dişi yeni bir çift daha üretti, iki ay önce doğan dişi de ilk çiftini üretti ve beş çift oldu.”
On ikinci ayın sonuna ulaşana kadar bu şekilde devam eder, bu noktada mutlu bir şekilde zıplayan 144 tavşan olacaktır ya da daha doğrusu mutlu bir şekilde zıplayan 72 ve ağır hamile ve muhtemelen oldukça yorgun olan 72 tavşan olacaktır. Ve bizi bu noktaya getiren aylık toplamların sıralaması şöyle olacaktır:
Mantıksızlığın bir ölçüsü
O halde Fibonacci dizisi en başından beri doğal dünyayla iç içeydi. Ancak bu dizi tavşan popülasyonlarından çok daha fazla yerde karşımıza çıkmaktadır: çiçeklerin taç yapraklarının sayısında ve çam kozalaklarının braketlerinde; ağaçların dallarında ve karnabahar çiçeklerinin kıvrımlarında; en küçük salyangoz kabuğundan en büyük Büyük Tasarım Spiral galaksilerine kadar bu diziyi görebilirsiniz.
Asıl soru şu: Neden? Bu özel sayı dizisi – bulabileceğiniz en basit değil, ama o kadar da karmaşık değil – doğal dünya için neden bu kadar önemli?
Cevabın büyük bir kısmı, Diophantine yaklaşımı olarak bilinen bir matematik alanı ile açıklanmaktadır. Mümkün olduğunca basit bir şekilde ifade etmek gerekirse, bu, irrasyonel sayıların nasıl olabileceğinin incelenmesidir ve bazı sonuçları sizi şaşırtabilir.
Örneğin, “en irrasyonel sayı ”yı düşünün. Muhtemelen, hangi sayının diğerlerinden daha irrasyonel olduğu sorulsa, ya bunun bir numara olduğunu ve sorunun saçma olduğunu düşünürsünüz ya da pi gibi sadece irrasyonel değil, aynı zamanda aşkın ve bilgisayar bilimcileri ve matematikçilerin görünüşte sonsuz ilgisinin konusu olan bir sayıyı seçersiniz.
Ama aslında en irrasyonel sayı çok daha ağırbaşlı bir sayıdır: φ – “phi” olarak telaffuz edilir ve sayısal olarak bu şekilde yazılır:
Şimdi, bu sayının o kadar da benzersiz veya ilginç görünmediğini söylemek doğru olur – peki onu “en irrasyonel” olarak ayıran nedir? Cevap, rasyonel yaklaşımlar kullanarak bu sayıya ne kadar yaklaşabileceğimize bağlı – ki kayıtlara geçsin diye söylüyorum, “hiç de yakın değil”.
Bir açıklama olarak, biraz π’ye bakalım. Bir noktada size kabaca 22/7’ye eşit olduğu öğretilmiş olabilir ve bu doğrudur: matematikçiler bu sayıya ikinci yakınsak sayı derler ve pi sayısının gerçek değerinden yalnızca yüzde 0,04 daha yüksektir. Üçüncü yakınsak, 333/106, yüzde 0,003’ten daha azdır ve dördüncü, 355/113, pi’nin gerçek değerinden sadece yüzde 0,00008 daha yüksektir.
Tam sayıların hiçbir kesri pi sayısını tam olarak tanımlayamasa da, bazı kombinasyonların pi sayısına oldukça yaklaşabildiğini kesinlikle görebiliriz. Ancak aynı şey phi için geçerli değildir – bunun yerine, yakınsayanlar listesinde ne kadar aşağıya giderseniz gidin, harcadığınız emekle karşılaştırıldığında sayının gerçek değerine ne kadar yaklaşabileceğiniz konusunda her zaman bir sınır olacaktır.
Ama işte burada iş ilginçleşiyor. Genellikle “altın oran” olarak bilinen phi’nin yakınsakları, bakalım onları tanıyabilecek misiniz?
Matematiğin doğası
Şimdi, bu noktada doğanın ileri sayı teorisi hakkında hiçbir şey bilmediğini ve tüm bunların kesinlikle bir tesadüf olması gerektiğini düşünüyor olabilirsiniz. Ama söz veriyoruz, öyle değil: Astrofizikçi ve bilim iletişimcisi Ethan Siegel bu yılın başlarında yazdığı bir makalede, “bitkiler de dahil olmak üzere birçok biyolojik organizmada bulunan Fibonacci benzeri desen ve oranların gerçekten Fibonacci dizisiyle ilişkili olduğunu” doğruladı ve “hem matematiksel olarak titiz bir şekilde hem de evrimsel bir nedenle mükemmel bir şekilde mantıklı olduğunu” belirtti.
Bir bitkinin yapraklarını düşünün. Bitkinin enerjisi Güneş’ten gelir, bu nedenle büyürken amacı yapraklarının güneş ışığına maruz kalmasını en üst düzeye çıkarmaktır. Bunu yapmanın en bariz yolu, yeni yaprakların bir öncekinden gövdeye doğru biraz daha uzamasını sağlamaktır – ama ne kadar uzamalıdır?
Pekala, birkaç örnek deneyelim. Etrafın yarısı işe yaramaz; üçüncü bir yaprak yetiştirdiğinizde, doğrudan ilkinin altında kalacak ve güneşi göremeyecektir. Aynı şey yolun üçte biri, dörtte biri ya da beşte biri için de geçerlidir aslında, yolun herhangi bir rasyonel kesri sonunda bir yaprağın tamamen diğerinin gölgesinde kalması anlamına gelecektir.
Bu nedenle cevap, bir devrimin irrasyonel bir kesrine gitmek olmalıdır ve hepsinin en iyisi en irrasyonel kesir olmalıdır. Gördüğümüz gibi, bu özel değere ulaşmanın en iyi yolu Fibonacci sayılarını kullanmaktır.
Siegel, “Eğer yaprakları bir önceki yaprağa göre […] o kilit açıda dizmeye devam ederseniz, yaprak desenlerinizin bir Fibonacci spirali oluşturduğunu görürsünüz,” diye açıkladı. “Ananaslarda, çam kozalaklarında ve daha fazlasında kodlanmış olan aynı matematiksel özellik, biyolojik organizmaların neden sıklıkla Fibonacci dizisinde bulunan sayıları gösterdiğini açıklıyor.”
Yani, Fibonacci sayılarının her yerde bulunması sadece bir tesadüf değil doğada mükemmel bir şekilde evrimleşmiş bir optimizasyon algoritmasının sonucudur.
Yalnızca bir uyarı var: bazen gerçekten de yalnızca tesadüftür.
Siegel, “Doğada tamamen fiziksel, biyolojik olmayan süreçlerden meydana gelen birçok spiral şekil olsa da bu spirallerin hiçbiri, yapılarının gerçek matematiksel detayları söz konusu olduğunda sürekli olarak Fibonacci benzeri değildir” dedi.
“Bir veya daha fazla özelliğin belirli bir an için Fibonacci dizisinde bulunan oranlarla tutarlı oranlar sergilediği bir ‘anlık görüntü’ alabilirsiniz, ancak bu yapılar kalıcı ve devamlı değildir.”
“[Çoğu] spiral galaksilerde görülen Fibonacci benzeri desenler, Evren’in fiziksel bir gerçeğinden ziyade gözlerimizin icadıdır.”
Kaynak: https://www.iflscience.com
400 Milyon Yıllık Fibonacci Spiralinin Bitkilerdeki Matematiksel Kökeni